1. Giới hạn hữu hạn
+) Cho khoảng chừng \(K\) chứa chấp điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên \(K\) hoặc bên trên \(K\backslash {\{x_0}\rm{\} }.\)
\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với sản phẩm số \((x_n)\) bất kì, \(x_n ∈ K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta với
\(\lim f(x_n) =L\).
+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên khoảng chừng \((x_0; b)\).
\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi sản phẩm số \((xn) bất kì, \(x_0<x_n< b\) và \(x_n\rightarrow x_0\) ,tớ với \(\lim f(x_n) = L\).
+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên khoảng chừng \((a; x_0)\).
\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với sản phẩm số \((x_n)\) bất kì, \(a <x_n< x_0\) và \(x_n\rightarrow x_0\), tớ với
\(\lim f(x_n) = L\).
+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên khoảng chừng \((a; +∞)\).
\(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với sản phẩm số \((x_n)\) bất kì, \(x_n> a\), \(x_n\rightarrow +\infty\) thì \(lim f(x_n) = L\).
+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên khoảng chừng \((-∞; a)\).
\(\underset{x\rightarrow-\infty }{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với sản phẩm số \((x_n)\) bất kì, \(x_n< a\), \(x_n\rightarrow -\infty\) thì \(\lim f(x_n) = L\).
2. Giới hạn vô cực
Sau đó là nhị vô số nhiều loại số lượng giới hạn vô vô cùng không giống nhau:
+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên khoảng chừng \((a; +∞)\), \(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = -∞\) khi và chỉ khi với sản phẩm số \((x_n)\) bất kì, \(x_n> a\), \(x_n\rightarrow +\infty\) thì tớ với \(\lim f(x_n) = -∞\)
+) Cho khoảng chừng \(K\) chứa chấp điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên \(K\) hoặc bên trên \(K\backslash {\{x_0}\rm{\} }.\)
\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = +∞\) và chỉ khi với sản phẩm số \((x_n)\) bất kì, \(x_n ∈K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\) và \(x_n\rightarrow x_0\) thì tớ có: \(\lim f(x_n) = +∞\).
Nhận xét: \(f(x)\) với số lượng giới hạn \(+∞ \) khi và chỉ khi \(-f(x)\) với số lượng giới hạn \(-∞\).
3. Các số lượng giới hạn quánh biệt
a) \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} x = x_0\);
b) \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}c = c\);
c) \(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim} c = c\);
Xem thêm: TOP iPhone màu xanh dương đáng mua nhất 2022
d) \(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim}\) \(\frac{c}{x} = 0\) (\(c\) là hằng số);
e) \(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} x^k= +∞\), với \(k\) vẹn toàn dương;
f) \(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim} x^k= -∞\), nếu như \(k\) là số lẻ;
g) \(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim}x^k = +∞\) , nếu như \(k\) là số chẵn.
4. Định lí về số lượng giới hạn hữu hạn
Định lí 1.
a) Nếu \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} = L\) và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) \(g(x) = M\) thì:
\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) + g(x)] = L + M\);
\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) - g(x) = L - M\);
\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) . g(x)] = L.M\);
\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) \(\frac{f(x)}{g(x)}\)= \(\frac{L}{M}\) (nếu \(M ≠ 0\)).
b) Nếu \(f(x) ≥ 0\) và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L\), thì \(L ≥ 0\) và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}\sqrt {f(x)} = \sqrt L\)
Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng vào lúc \(x_n\rightarrow +\infty\) hoặc \(x_n\rightarrow -\infty\).
Định lí 2.
\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim}\) f(x) = \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\).
5. Quy tắc về số lượng giới hạn vô cực
a) Quy tắc số lượng giới hạn của tích \(f(x).g(x)\)
+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \pm \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = L \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\) được mang lại vô bảng sau:
b) Quy tắc tìm hiểu số lượng giới hạn của thương \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)
Xem thêm: Cấu trúc No Sooner - Công thức, cách dùng và bài tập có đáp án
+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \ne 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\) và \(g\left( x \right) > 0\) hoặc \(g\left( x \right) < 0\) với từng \(x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\), vô tê liệt \(J\) là 1 khoảng chừng này tê liệt chứa chấp \({x_0}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) được mang lại vô bảng sau:
Loigiaihay.com
Bình luận