Công thức tính thể tích khối tròn xoay và ví dụ minh họa

Khối tròn xoay là gì? Cách tính thể tích khối tròn xoay như thế nào?

Khối tròn xoay là một khối hình được tạo bằng cách quay một mặt phẳng quanh một trục cố định như khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay, khối cầu tròn xoay,... Dưới đây là công thức tính thể tích khối tròn xoay, mời các bạn tham khảo.

Các khối tròn xoay thường gặp: Khối tròn xoay hình trụ, khối tròn xoay hình nón, khối tròn xoay hình cầu.

Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox

Nếu khối tròn xoay quanh trục Ox thì để tính thể tích khối tròn xoay có thể áp dụng các công thức sau:

Trường hợp 1: Khối tròn xoay tạo bởi:

Đường thẳng y= f(x)
Trục hoành y=0
x=a; x=b

Khi đó, công thức tính thể tích là:

$V=\pi \int_a^b f^2(x) d x$

Trường hợp 2: Khối tròn xoay được tạo bởi:

Đường thẳng y= f(x)
Đường thẳng y= g(x)
x=a; x=b

Khi đó công thức tính thể tích khối tròn xoay sẽ là:

$V=\pi \int_a^b\left[f^2(x)-g^2(x)\right] d x(g(x) \leq f(x) )$ với $\forall x\in[a;b]$

Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy

Nếu khối tròn xoay quanh trục Oy thì để tính thể tích khối tròn xoay có thể áp dụng các công thức sau:

Trường hợp 1: Khối tròn xoay được tạo bởi:

Đường x=g(y)
Trục tung (x=0)
y=c; y=d

Khi đó công thức tính thể tích khối tròn xoay sẽ là:

$V=\pi \int_c^d g^2(y) d y$

Trường hợp 2: Khối tròn xoay được tạo bởi

Đường x=f(y)
Đương x=g(y)
y=c; y=d

Khi đó thể tích khối tròn xoay sẽ là:

$V=\pi \int_c^d\left[f^2(y)-g^2(y)\right] d y \quad(g(y) \leq f(y))$ với $\forall y\in[c;d]$

Bảng tóm tắt công thức tính thể tích khối tròn xoay:

1. V_x sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox:

2. V_x sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox:

Ví dụ về tính thể tích khối tròn xoay

Ví dụ 1:

Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=π (hình vẽ) quanh trục Ox.

Lời giải

Áp dụng công thức ở định lý trên ta có

$V=\pi \int_0^\pi \sin ^2 x d x=\frac{\pi}{2} \int_0^\pi(1-\cos 2 x) d x$

$=\left.\frac{\pi}{2}\left(x-\frac{1}{2} \sin 2 x\right)\right|_0 ^\pi$

$=\frac{\pi}{2}\left(\pi-\frac{1}{2} \sin 2 \pi\right)-\frac{\pi}{2}\left(0-\frac{1}{2} \sin 0\right)$

$=\frac{\pi^2}{2}$

Ví dụ 2:

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{A^2-x^2}$ và trục hoành quanh trục hoành.

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong và trục hoành quanh trục hoành

Giải:

Ta thấy:

$y=\sqrt{A^2-x^2}<=>\ y^2=A^2\ -x^2\ \ <=>\ y^2\ +x^2\ =\ A^2$

Do $\sqrt{A^2-x^2}\ge\ 0$ với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O, bán kính R = A nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính R = A (hình vẽ). Do vậy ta có luôn

$V=\frac{4}{3}\pi A^3$

Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.

Ví dụ 3:

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0≤x≤1) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và ln(x²+1).

Giải:

Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là:

$S(x)=x\ln(x2^{ }+1)$

Ta có thể tích cần tính là

$\mathrm{V}=\int_0^1 \mathrm{x} \ln \left(\mathrm{x}^2+1\right) \mathrm{dx}$

$\mathrm{V}=\frac{1}{2} \int_0^1 \ln \left(\mathrm{x}^2+1\right) \mathrm{d}\left(\mathrm{x}^2+1\right)$

$=\left.\frac{1}{2}\left(\mathrm{x}^2+1\right) \ln \left(\mathrm{x}^2+1\right)\right|_0 ^1-\frac{1}{2} \int_0^1\left(\mathrm{x}^2+1\right) \mathrm{d}\left(\ln \left(\mathrm{x}^2+1\right)\right)$

$=\ln 2-\frac{1}{2} \int_0^1 2 x d x=\ln 2-\frac{1}{2}$

Ví dụ 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành.

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường x = 1 với y = x và y = 3x là các điểm C(1;1) và B(3;1). Tọa độ giao điểm của đường y = 3x với y = x là O(0;0).

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

$V=\pi \int_0^1\left|9 x^2-x^2\right| d x=\pi \int_0^1 8 x^2 d x$

$\Leftrightarrow V=\left.\pi \frac{8 x^3}{3}\right|_0 ^1=\frac{8}{3} \pi$

Ví dụ 5: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x²; y² = 4x quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành.

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x2; y2 = 4x quay xung quanh trục Ox

Giải:

Với $x\in[0;2]$ thì tương đương $y=2\sqrt{x}$ . Tọa độ giao điểm của đường $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}^2$ với $\mathrm{y}^2=4 \mathrm{x}$ là các điểm O(0;0) và A(1;2).

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

$V=\pi \int_0^1\left|4 x-4 x^4\right| d x=\pi \int_0^1\left(4 x-4 x^4\right) d x$

$V=\left.\pi \cdot\left(2 x^2-\frac{4 x^5}{5}\right)\right|_0 ^1=\frac{6}{5} \pi$

Với những bài toán yêu cầu tính thể tích khối tròn xoay, bạn chỉ cần sử dụng đúng công thức cho từng trường hợp và lưu ý khi xác định cận là có thể giải được. Chúc các bạn thành công.

Công thức tính thể tích khối tròn xoay và ví dụ minh họa

Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox

Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy

Bảng tóm tắt công thức tính thể tích khối tròn xoay:

1. Vx sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox:

2. Vx sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox:

Ví dụ về tính thể tích khối tròn xoay

1. V_x sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox:

2. V_x sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox: