Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

     
Những mệnh đều sau đây sẽ được dùng.

Bạn đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

$(i)$ Đường thẳng $left( d ight):y = kx + b$ có thông số góc là $k$.$(ii)$ thông số góc của tiếp tuyến đường $T$ của hàm số $y=fleft( x ight)$ tại điểm $x_0$ là $f'left( x_0 ight)$.$(iii)$ hai tuyến phố thẳng vuông góc nhau khi gồm tích các hệ số góc là $-1$.$(iv)$ Phương trình tiếp con đường $T$ của hàm số $y=fleft( x ight)$ trên điểm $M_0(x_0;y_0)$ là$$y = f'left( x_0 ight)left( x - x_0 ight) + y_0.;;$$
*
Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến đường $(Delta)$ của trang bị thị $left( C ight):y = fleft( x ight)$ vuông góc với con đường thẳng $left( d ight):y = kx + b$.Giải. Hotline $M_0(x_0;y_0)$ là tiếp điểm. Từ $(i)$ và$(ii)$ta có hệ số góc của $Delta$và $d$ thứu tự là $f'left( x_0 ight)$ và$k$.Vì $Delta ot d$ phải theo$(iii)$ ta có $f'left( x_0 ight) cdot k = - 1.$ Từ đây ta bao gồm $x_0$ là nghiệm của phương trình$f'left( x ight) cdot k = - 1$.Từ phía trên ta có công việc để viết phương tình tiếp con đường củađồ thị $left( C ight):y = fleft( x ight)$ vuông góc với con đường thẳng $left( d ight):y = kx + b$ như sau:
Bước 1. Giải phương trình$f'left( x ight) cdot k = - 1$, nghiệm $x_0$ của phương trình là hoành độ của tiếp điểm.Bước 2. Tính $y_0 = fleft( x_0 ight)$ sẽ được tiếp điểm$M_0(x_0;y_0)$.Bước 3. Viết phương trình tiếp tuyến đường của$left( C ight)$ tại$M_0(x_0;y_0)$theo mệnh đề$(iv)$.

Xem thêm: Khỉ Và Chó Và Khỉ Thông Minh Ở Nhật Bản 12, Khỉ Và Chó Thông Minh

*
Ví dụ 1.

Xem thêm: Một Hỗn Hợp X Gồm 1 Anken A Và 1 Ankin B Có Cùng Số Nguyên Tử Cac

Viết phương trình tiếp con đường $T$ của đồ thị hàm số $(C): y = x^2 - 2x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $left( d ight):x + 2y + 1 =0$.Giải. Cách 1. Ta gồm $fleft( x ight) = x^2 - 2x - 1 Rightarrow f'left( x ight) = 2x - 2.$.Ta cũng có $left( d ight):x + 2y + 1 = 0 Leftrightarrow y = - frac12x + frac12.$ hệ số góc của đường thẳng$left( d ight) $ là $ k =- frac12$.Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $$f'left( x ight) cdot k = - 1 Leftrightarrow left( 2x - 2 ight) cdot left( - frac12 ight) = - 1 Leftrightarrow 2x - 2 = 2 Leftrightarrow x = 2.$$Bước 2. Nuốm $x_0=2$ vào phương trình của$(C)$ ta được $y_0=-1$. Suy ra tiếp điểm là $M_0left( 2; - 1 ight).$Bước 3. Ta tất cả $f'left( x_0 ight) = 2$. Phương trình tiếp con đường tại$M_0left( 2; - 1 ight)$ là$$y = f'left( x_0 ight)left( x - x_0 ight) + y_0 Leftrightarrow y = 2left( x - 2 ight) - 1 Leftrightarrow y = 2x - 5.$$
*
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp đường $Delta$ của vật thị hàm số $fleft( x ight) = frac2x + 1x - 1$ biết tiếp tuyến đường vuông góc với con đường thẳng $left( d ight):y = frac13x.$Giải. Từ trả thiết ta suy ra hệ số góc của con đường thẳng $d$ là $frac13$. Vị tiếp tuyến $Delta ot d$ nên hoành độ tiếp điểm, trường hợp có, là nghiệm của phương trình $$f'left( x ight).frac13 = - 1 Leftrightarrow frac - 3left( x - 1 ight)^2.frac13 = - 1 Leftrightarrow left( x - 1 ight)^2 = 1 Leftrightarrow left< egingathered x_1 = 0 Rightarrow y_1 = fleft( 0 ight) = - 1 hfill \ x_2 = 2 Rightarrow y_2 = fleft( 2 ight) = 5 hfill \endgathered ight.$$Vậy tất cả hai tiếp điểm là $M_1left( 0; - 1 ight),M_2left( 2;5 ight)$.Phương trình tiếp tuyến đường tại $M_1left( 0; - 1 ight)$ là $$left( Delta_1 ight):;;;;y = - 3left( x - x_1 ight) + y_1 Leftrightarrow y = - 3left( x - 0 ight) - 1 Leftrightarrow y = - 3x - 1.$$Phương trình tiếp con đường tại $M_2left( 2;5 ight)$ là $$left( Delta_2 ight):;;;;y = 6left( x - x_2 ight) + y_2 Leftrightarrow y = 6left( x - 2 ight) + 5 Leftrightarrow y = 6x - 7.$$