Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

     

Vectơ $overrightarrow u $ được call là vectơchỉ phương của đường thẳng $Delta $ nếu như $overrightarrow u e overrightarrow 0 $ và giá của $overrightarrow u $ song song hoặc trùng với$Delta $.

Bạn đang xem: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Nhận xét

-Nếu $overrightarrowu $ là 1 vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng$Delta $thì $koverrightarrow u left( k e 0 ight)$ cũng là một trong những vectơ chỉ phương của$Delta $. Cho nên một đường thẳng có vô số vectơchỉ phương.

-Một con đường thẳng hoàn toàn được xác minh nếu biết một điểm cùng một vectơ chỉphương của đường thẳng đó.

2. Phương trình thông số của đường thẳng

Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy đến đường thẳng$Delta $đi quađiểm $M_0left( x_0;y_0 ight)$ cùng nhận $overrightarrow u =left( u_1;u_2 ight)$ làm cho vectơ chỉ phương. Với từng điểm M(x ; y)bất kì trong khía cạnh phẳng, ta tất cả $overrightarrow MM_0 = left( x -x_0;y - y_0 ight)$. Lúc đó $M in Delta Leftrightarrowoverrightarrow MM_0 $ cùng phương với $overrightarrow uLeftrightarrow overrightarrow MM_0 = toverrightarrow u $.

$ Leftrightarrow left{ eginarray*20l x - x_0 = tu_1 \ y - y_0 = tu_2 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarray*20l x = x_0 + tu_1 \ y = y_0 + tu_2 endarray ight.left( 1 ight)$

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình thông số của đường thẳng$Delta $,trong kia ttham số.

Cho tmột giá chỉ trị rõ ràng thì ta xác định được một điểm trê tuyến phố thẳng$Delta $.

*

3. Vectơ pháp tuyến của con đường thẳng

Định nghĩa

Vectơ $overrightarrow n $ được điện thoại tư vấn là vectơ pháp tuyến đường của mặt đường thẳng$Delta $ ví như $overrightarrow n e 0$ và $overrightarrow n $ vuông góc cùng với vectơ chỉ phương của$Delta $.

Nhận xét

Nếu $overrightarrow n $ là một trong những vectơ pháp đường của mặt đường thẳng$Delta $ thì $koverrightarrow n left( k e 0 ight)$ cũnglà một vectơ pháp tuyến của$Delta $. Vì vậy một mặt đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếubiết một điểm với một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng thể của đưòng thẳng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy mang đến đường thẳng $Delta $đi qua điểm $M_0left( x_0;y_0 ight)$ với nhận$overrightarrow n left( a;b ight)$ làm cho vectơ pháp tuyến.

Xem thêm: Những Món Ăn Ngon Nhất Hàn Quốc "Ngon Hết Sẩy" Không Phải Ai Cũng Biết

Với mỗi điểm M(x ; y) bất kỳ thuộc phương diện phẳng, ta có: $overrightarrow MM_0 = left( x - x_0;y - y_0 ight)$.

Khi đó:

$eginarray*20l Mleft( x;y ight) in Delta Leftrightarrow vec n ot overrightarrow MM_0 \ Leftrightarrow aleft( x - x_0 ight) + bleft( y - y_0 ight) = 0 \ Leftrightarrow ax + by + left( - ax_0 - by_0 ight) = 0 \ Leftrightarrow ax + by + c = 0 endarray$

Với $c = - ax_0 - by_0$.

*

Định nghĩa

Phương trình ax + by + c =0 với a b không đồng thời bởi 0, được call là phương trình bao quát của con đường thẳng.

Nhận xét

Nếu con đường thẳng$Delta $có phương trình là ax + by + c = 0 thì$Delta $có vectơ pháp tuyếnlà $overrightarrow n = left( a;b ight)$ và tất cả vectơ chỉ phương là $overrightarrow u = left( - b;a ight)$.

* các trường hợp đặc biệt

Cho con đường thẳng $Delta $có phương trình tổng thể ax + by + c = 0 (1)

a) nếu a= 0 phương trình (1) trở thành by + c= 0 hay $y = - fraccb$.

Khi đó con đường thẳng $Delta $vuông góc với trục Oy tại điểm $left( 0; - fraccb ight)$.

*

b) Nếub = 0 phương trình (1) biến đổi ax +c = 0 hay $x = - fracca$.

Khi đó con đường thẳng $Delta $vuông góc cùng với trục Ox tại điểm $left( - fracca;0 ight)$.

*

c) ví như c= 0 phương trình (1) đổi thay ax +by = 0.

Khi đó đường thẳng $Delta $đi qua nơi bắt đầu tọa độ O.

*

d) nếu a,b, c đều khác 0 ta hoàn toàn có thể đưa phương trình (1) về dạng $fracxa_0 + fracyb_0 = 1$.

với $a_0 = - fracca,b_0 = - fraccb$. (2). Phương trình này được điện thoại tư vấn là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đườngthẳng này giảm Ox Oy lần lượt trên $Mleft( a_0;0 ight)$ với $Nleft( 0;b_0 ight)$.

*

5. Vị trí kha khá của hai đường thẳng

Xét hai tuyến phố thẳng $Delta _1$ và $Delta _2$ gồm phương trìnhtổng quát theo thứ tự là $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ cùng $a_2x + b_2y + c_2 = 0$.

Toạ độ giao điểm của $Delta _1$ cùng $Delta _2$ là nghiệm của hệphương trình:

$left{ eginarray*20l a_1x + b_1y + c_1 = 0 \ a_2x + b_2y + c_2 = 0 endarray ight.(I)$

Ta có những trường thích hợp sau:

a) Hệ (I) có một nghiệm $left( x_0;y_0 ight)$, khi đó$Delta _1$ cắt$Delta _2$ tạiđiểm $M_0left( x_0;y_0 ight)$.

b) Hệ (I) bao gồm vô số nghiệm, lúc đó $Delta _1$ trùng với$Delta _2$.

Xem thêm: Cách Tìm Tọa Độ Trọng Tâm Tam Giác, Tìm Tọa Độ Trọng Tâm Tam Giác Abc Có A(

c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó$Delta _1$ cùng $Delta _2$ ko cóđiểm chung, tốt $Delta _1$ tuy nhiên song với $Delta _2$.

6. Góc giữa hai tuyến phố thẳng

Góc giữa hai đường thẳng $Delta _1$ và $Delta _2$ được kí hiệulà $left( widehat Delta _1,Delta _2 ight)$ hoặc $left( Delta _1,Delta _2 ight)$.

Cho hai tuyến đường thẳng

$eginarray*20l Delta _1:a_1x + b_1y + c_1 = 0 \ Delta _2:a_2x + b_2y + c_2 = 0 endarray$

Đặt $varphi = left( widehat Delta _1,Delta _2 ight)$ thì ta thấy $varphi$ bởi hoặc bù cùng với góc giữa$overrightarrow n __1$ cùng $overrightarrow n __2$ trong những số đó $overrightarrow n __1$, $overrightarrow n __2$ thứu tự là vectơ pháp tuyến của$Delta _1$ với $Delta _2$. Bởi vì $cos varphi ge 0$ bắt buộc tasuy ra

$cosvarphi = left| cos left( overrightarrow n_1,overrightarrow n_2 ight) ight| = fracoverrightarrow n_1 .overrightarrow n_2 ight overrightarrow n_2 ight$

Vậy

$cos varphi = fracsqrt a_1^2 + b_1^2 sqrt a_2^2 + b_2^2 $.

*

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một con đường thẳng

Trong phương diện phẳng Oxy đến đường thẳng$Delta $cóphương trình ax + by + c = 0 và điểm$M_0left( x_0;y_0 ight)$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ mang lại đường thẳng $Delta $, kí hiệu là $dleft( M_0,Delta ight)$), được tính bởicông thức sau:

$dleft( M_0,Delta ight) = fracleftsqrt a^2 + b^2 $