Trọng Tâm Của Tứ Diện Trong Không Gian

     

Trọng trọng tâm của tứ diện là một trong những điểm quan trọng cần để ý trong các bài toán liên quan đến tứ diện. Vậy trọng điểm của tứ diện là gì? Làm thế nào để xác định tâm của một tứ diện? Các tính chất của tiêu điểm là gì?… trong nội dung nội dung bài viết dưới đây, nangngucnoisoi.vn sẽ giúp đỡ bạn tổng thích hợp kiến ​​thức về chủ đề này!


Tìm xem giữa trung tâm của tứ diện là gì?

Định nghĩa trọng tâm của một tứ diện

Cho tứ diện (ABCD ). Khi đó (G ) là trung khu của tứ diện (ABCD ) nếu và chỉ còn khi:


( overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC + overrightarrow GD = 0 )

Mỗi tứ diện chỉ gồm (1 ) tâm.

Bạn đang xem: Trọng tâm của tứ diện trong không gian

Làm cầm nào để chứng minh các trọng tâm của một tứ diện?

Giả sử ngoại trừ centroid (G ) còn mãi mãi một điểm (G ‘) cũng vừa ý thuộc tính:

( overrightarrow G’A + overrightarrow G’B + overrightarrow G’C + overrightarrow G’D = 0 )

Sau đó chúng tôi có:

(0 = overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC + overrightarrow GD )

(= ( overrightarrow GG ‘ + overrightarrow G’A) + ( overrightarrow GG’ + overrightarrow G’B) + ( overrightarrow GG ‘ + overrightarrow G’ C) + ( overrightarrow GG ‘ + overrightarrow G’D) )

(= 4 overrightarrow GG ‘ + ( overrightarrow G’A + overrightarrow G’B + overrightarrow G’C + overrightarrow G’D) )

(= 4 overrightarrow GG ‘ )

( Rightarrow overrightarrow GG ‘ = 0 )

( Rightarrow G equiv G ‘) hoặc chỉ mãi sau điểm (G ) thoả mãn:

( overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC + overrightarrow GD = 0 )

Cách vẽ trọng tâm của tứ diện ABCD

Chúng ta tất cả (2 ) giải pháp vẽ trọng tâm của tứ diện:

Phương pháp 1: mang lại tứ diện (ABCD ). Tiếp nối (3 ) đoạn trực tiếp nối các trung điểm của (3 ) những cặp đường chéo đồng thời trên trung điểm của mỗi đoạn thẳng. Điểm đó là tâm của tứ diện (ABCD )

Chứng tỏ:

*

Gọi (M, N, P, Q ) theo thứ tự là trung điểm của (AB, BC, CD, da ).

Khi đó ta có: (MQ, NP ) là cực hiếm trung bình của ( Delta ABD ) cùng ( Delta CBD ) tương ứng.

( Rightarrow MQ // NP ) (same (// BD ))

( Rightarrow MQ = NP = frac BD 2 )

( Rightarrow MNPQ ) là một trong những hình bình hành

( Rightarrow MP cap NQ ) tại điểm thân của mỗi dòng

Làm tương tự so với cặp cạnh chéo cánh còn lại.

Vì vậy ta bao gồm điều cần chứng minh (đpcm).

Phương pháp 2: Cho tứ diện (ABCD ) gồm (G ) là tâm của ( Delta BCD ). Trên đoạn trực tiếp (AG ) lấy điểm (K ) sao để cho (KA = 3KG ). Khi ấy điểm (K ) là trọng điểm của tứ diện (ABCD )

Chứng tỏ:

Chúng ta có:

Vì (G ) là giữa trung tâm ( Delta BCD Rightarrow overrightarrow GB + overrightarrow GC + overrightarrow GD = 0 )

( overrightarrow KA + overrightarrow KB + overrightarrow KC + overrightarrow KD = overrightarrow KA + ( overrightarrow KG + overrightarrow GB) + ( overrightarrow KG + overrightarrow GC) + ( overrightarrow KG + overrightarrow GD) )

(= overrightarrow KA +3 overrightarrow KG + ( overrightarrow GB + overrightarrow GC + overrightarrow GD) )

(= overrightarrow KA +3 overrightarrow KG )

Ngược lại, vị (KA = 3KG Rightarrow overrightarrow KA +3 overrightarrow KG = 0 )

( Rightarrow overrightarrow KA + overrightarrow KB + overrightarrow KC + overrightarrow KD = 0 )

Vậy (K ) là vai trung phong của tứ diện (ABCD )

***Chú ý: Trong một số trường thích hợp tứ diện tất cả những đặc thù đặc biệt, chúng ta sẽ có một số trong những cách khẳng định riêng. Ví dụ, xác minh trọng trung khu của một tứ diện đều bằng phương pháp xác định giao điểm của (4 ) đường cao từ từng đỉnh đến tam giác đáy đối lập của tứ diện.

Xem thêm: Chuyện Tình Ven Sông Tập 1A, Xem Phim &Mdash Xem Phim Chuyện Tình Ven Sông Tập

Một số tính chất về trung tâm của tứ diện

Cho tứ diện (ABCD ) gồm (G ) là trung ương của tứ diện. Sau đó, cửa hàng chúng tôi có những thuộc tính sau:

( overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC + overrightarrow GD = 0 ) (G ) là trung điểm của đoạn trực tiếp nối (2 ) là trung điểm (2 ) của bất kỳ cạnh đối lập nào vào tứ diện. (G ) nằm trê tuyến phố thẳng nối đỉnh của tứ diện với giữa trung tâm của tam giác cơ sở khớp ứng sao cho khoảng cách từ (G ) đến đỉnh bằng (3 ) nhân với khoảng cách từ ( G ) đến giữa trung tâm của tam giác.

Bài tập liên quan đến trọng tâm của tứ diện

Chứng minh rằng 2 tứ diện có cùng trọng tâm

Cho tứ diện (ABCD ) với tứ diện (A’B’C’D ‘). Call (G ) là chổ chính giữa của tứ diện (ABCD ). Lúc ấy (G ) cũng là vai trung phong của tứ diện (A’B’C’D ‘) nếu còn chỉ khi:

( overrightarrow AA ‘ + overrightarrow BB’ + overrightarrow CC ‘ + overrightarrow DD’ = 0 )

Chứng tỏ:

Chúng ta có:

( overrightarrow AA ‘ + overrightarrow BB’ + overrightarrow CC ‘ + overrightarrow DD’ = ( overrightarrow AG + overrightarrow GA ‘) + ( overrightarrow BG + overrightarrow GB ‘) + ( overrightarrow CG + overrightarrow GC’) + ( overrightarrow DG + overrightarrow GD ‘) )

(= ( overrightarrow AG + overrightarrow BG + overrightarrow CG + overrightarrow DG)) + ( overrightarrow GA ‘ + overrightarrow GB’ + overrightarrow GC ‘ + overrightarrow GD ‘) )

(= overrightarrow GA ‘ + overrightarrow GB’ + overrightarrow GC ‘ + overrightarrow GD’ )

Vì vậy: ( overrightarrow AA ‘ + overrightarrow BB’ + overrightarrow CC ‘ + overrightarrow DD’ = 0 Leftrightarrow overrightarrow GA ‘ + overrightarrow GB’ + overrightarrow GC ‘ + overrightarrow GD’ = 0 )

Tôi tất cả dc.

Ví dụ:

Cho tứ diện (ABCD ). Hotline (M, N, P, Q ) là tâm của (4 ) của tứ diện. Chứng tỏ rằng nhì tứ diện (ABCD ) với (MNPQ ) có cùng trọng tâm

Giải pháp:

Chúng ta có:

( overrightarrow AM = overrightarrow AD + overrightarrow DM = overrightarrow AB + overrightarrow BM = overrightarrow AC + overrightarrow CM )

(= frac overrightarrow AB + overrightarrow AC + overrightarrow AD 3 ) (do ( overrightarrow MB + overrightarrow MC + overrightarrow MD ) = 0 ))

Tương tự, bọn họ có:

( overrightarrow BN = frac overrightarrow BA + overrightarrow BC + overrightarrow BD 3 )

( overrightarrow CP = frac overrightarrow CA + overrightarrow CB + overrightarrow CD 3 )

( overrightarrow DQ = frac overrightarrow DA + overrightarrow DB + overrightarrow DC 3 )

Thêm cả nhì vế của (4 ) trên bởi nhau, bọn họ nhận được:

( overrightarrow AM + overrightarrow BN + overrightarrow CP + overrightarrow DQ = 0 )

Theo nằm trong tính trên ( Rightarrow ABCD ) cùng (MNPQ ) gồm cùng trọng tâm

Bài toán trọng tâm của tứ diện sệt biệt

Tứ diện vuông là tứ diện gồm đỉnh nhưng (3 ) các cạnh trường đoản cú đỉnh kia vuông góc cùng với nhau.

Tứ diện phần đa là tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau.Tứ diện gần hầu như là tứ diện có các cặp cạnh đối lập bằng nhau.Tứ diện trực tâm là tứ diện có những cặp cạnh đối diện vuông góc cùng với nhau.

Xem thêm: Hiện Tượng Co Nguyên Sinh Và Phản Co Nguyên Sinh, Thu Hoạch Về Thí Nghiệm Co Và Phản Co Nguyên Sinh

Ví dụ:

Gọi (G ) là trung tâm của tứ diện vuông (OABC ) (vuông trên (O )). Hiểu được (OA = OB = OC = a ). Tính chiều lâu năm (OG )

Giải pháp:

Bởi vày (OA = OB = OC = a ) với ( widehat AOC = widehat COB = widehat BOA = 90 ^ circle )

Nên quan sát và theo dõi Định lý Pythagore bọn họ có :

(AB = BC = CA = a sqrt 2 )

( Rightarrow Delta ABC ) phần lớn nhau.

Đặt (H ) là trọng tâm ( Rightarrow Delta ABC )

Bởi nằm trong tính trung trung tâm ( Rightarrow G in OH ) và ( Rightarrow OG = frac 3 4 OH )

Vì ( Delta ABC ) có độ dài các cạnh bởi (a sqrt 2 ) cần ( Rightarrow ) độ cao của ( Delta ABC ) là: (a sqrt 2. Frac sqrt 3 2 = frac a sqrt 6 2 )

( Rightarrow bảo hành = frac 2 3. Frac a sqrt 6 2 = frac a sqrt 6 3 )

Theo tính chất của tứ diện vuông, (OH bot (ABC) )

( Rightarrow OH = sqrt OB ^ 2-BH ^ 2 = frac a sqrt 3 )

( Rightarrow OG = frac 3 4 OH = frac a sqrt 3 4 )

Bài viết bên trên của nangngucnoisoi.vn sẽ giúp các bạn tổng hợp triết lý và một vài dạng bài tập về giữa trung tâm của tứ diện. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ mang lại lợi ích cho các bạn trong quy trình học tập và phân tích chuyên đề trọng tâm về khối tứ diện. Chúc suôn sẻ với các phân tích của bạn!