TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTO

     

Bài viết phía dẫn phương pháp giải bài toán xác minh điểm hay tập hòa hợp điểm thoả nguyện đẳng thức vectơ đến trước, ngoài ra là một số trong những ví dụ minh họa gồm lời giải cụ thể giúp độc giả nắm vững phương pháp giải quyết dạng toán này.

Bạn đang xem: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

Phương pháp giải toán:1. Khẳng định điểm $M$ thoả mãn một đẳng thức vectơ mang lại trước:• Ta thay đổi đẳng thức vectơ mang lại trước về dạng $overrightarrow OM = overrightarrow v $, trong số ấy điểm $O$ và vectơ $overrightarrow v $ đã biết.• Khi đó điểm $M$ hoàn toàn xác định.

Xem thêm: Tổng Kết Về Ngữ Pháp Lớp 9 Violet, Tổng Kết Từ Vựng Lớp 9 Violet

2. Xác minh tập thích hợp điểm $M$ nhất trí đẳng thức vectơ mang đến trước:Ta gồm thể biến hóa đẳng thức đã cho về một trong số dạng:• nếu $left| overrightarrow AM ight| = R$ ($R$ là hằng số) thì tập hợp các điểm $M$ là con đường tròn vai trung phong $A$, nửa đường kính $R$ nếu như $R > 0$; $M ≡ A$ nếu như $R = 0$; là tập rỗng giả dụ $R • giả dụ $left| overrightarrow MA ight| = kleft| overrightarrow BC ight|$ ($A$, $B$, $C$ mang lại trước) thì tập phù hợp điểm $M$ là mặt đường tròn chổ chính giữa $A$, bán kính bằng $k.BC.$• giả dụ $left| overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow MB ight|$ cùng với $A$, $B$ mang đến trước thì $M$ thuộc đường trung trực của đoạn $AB.$• trường hợp $overrightarrow MA = koverrightarrow BC $ ($A$, $B$, $C$ cho trước) thì tập hòa hợp điểm $M$ là:+ Đường trực tiếp qua $A$ song song với $BC$ nếu $k ∈ R.$+ Nửa con đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ theo phía $overrightarrow BC $ cùng với $k ∈ R^+ .$+ Nửa đường thẳng qua $A$ tuy nhiên song cùng với $BC$ theo hướng ngược cùng với $overrightarrow BC $ với $k ∈ R^- .$3. Xác định tập thích hợp điểm vừa lòng đẳng thức của tích vô hướng:Ta bao gồm thể chuyển đổi đẳng thức tích vô hướng đã mang đến về một trong những dạng (ngoài phần lớn trường hòa hợp trên):• ví như $overrightarrow MA .overrightarrow MB = 0$ ($A$, $B$ nỗ lực định) thì $M$ thuộc đường tròn đường kính $АВ.$• ví như $overrightarrow MH .overrightarrow AB = 0$ ($H$ rứa định, $overrightarrow AB $ vectơ ko đổi) thì tập thích hợp $M$ là đường thẳng $Δ$ qua $H$ vuông góc $AB.$

Ví dụ minh họa:Ví dụ 1: mang đến tam giác $ABC.$a) xác minh điểm $M$ vừa lòng $overrightarrow MA + overrightarrow MB + 2overrightarrow MC = vec 0.$b) xác định điểm $N$ thỏa mãn $overrightarrow NA – 2overrightarrow NB + 3overrightarrow NC = overrightarrow 0 .$c) xác định điểm $P$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow CP = overrightarrow KA + 2overrightarrow KB – 3overrightarrow KC $ (với $K$ là điểm tùy ý).

Xem thêm: Tổng Hợp Các Công Thức Tích Phân Và Bài Tập Giải Tích Phân Cơ Bản

*

a) hotline $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $CI.$Ta có: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + 2overrightarrow MC = vec 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow MI + 2overrightarrow MC = vec 0$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow MJ = vec 0 .$Do đó: $J equiv M.$b) hotline $E$ là trung điểm của $AC.$Ta có: $overrightarrow NA – 2overrightarrow NB + 3overrightarrow NC = vec 0$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NC + overrightarrow CA )$ $ – 2(overrightarrow NC + overrightarrow CB )$ $ + 3overrightarrow NC = vec 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow NC + overrightarrow CA – 2overrightarrow CB = overrightarrow 0 $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = overrightarrow CA – 2overrightarrow CB $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = (overrightarrow BA – overrightarrow BC ) + 2overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = overrightarrow BA + overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = 2overrightarrow BE $ hay $ overrightarrow CN = overrightarrow BE .$c) Ta có: $overrightarrow CP = overrightarrow KA + 2overrightarrow KB – 3overrightarrow KC $ $ = overrightarrow KC + overrightarrow CA + 2(overrightarrow KC + overrightarrow CB ) – 3overrightarrow KC $ $ = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB .$Vì $A$, $B$, $C$ mang đến trước cần $overrightarrow a = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB $ xác định. Vậy tập thích hợp điểm $P$ thỏa mãn $overrightarrow CP = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB .$

Ví dụ 2: cho tam giác số đông $ABC$ cạnh $a.$a) tra cứu tập vừa lòng điểm $M$ thỏa mãn nhu cầu $MB^2 + 2MC^2 = k.$b) kiếm tìm tập hòa hợp điểm $N$ vừa lòng $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA = frac5a^22.$

*

Ta có: $MB^2 + 2MC^2 = k$ $ Leftrightarrow overrightarrow MB ^2 + 2overrightarrow MC ^2 = k$ $ Leftrightarrow (overrightarrow MI + overrightarrow IB )^2 + 2(overrightarrow MI + overrightarrow IC ) = k$ $ Leftrightarrow 3MI^2 + 2overrightarrow MI (overrightarrow IB + 2overrightarrow IC )$ $ + IB^2 + 2IC^2 = k.$Gọi $I$ là vấn đề sao mang đến $overrightarrow IB + 2overrightarrow IC = vec 0$ với $IC = fraca3$, $IB = frac2a3.$Khi đó: $ – 3MI^2 = IB^2 + 2IC^2 – k.$Suy ra: $MI^2 = frac3k – 2a^29.$Vậy:+ nếu $3k – 2a^2 + nếu $3k – 2a^2 = 0$ $ Leftrightarrow k = frac23a^2$, khi đó $M equiv I.$+ ví như $3k – 2a^2 > 0$ $ Leftrightarrow k > frac23a^2$, khi đó tập hợp $M$ là con đường tròn trọng tâm $I$, bán kính $R = frac13sqrt 3k – 2a^2 .$b) điện thoại tư vấn $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$Ta có: $overrightarrow NA + overrightarrow NB + overrightarrow NC = 3overrightarrow NG .$Suy ra: $NA^2 + NB^2 + NC^2$ $ + 2(overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA )$ $ = 9NG^2.$Khi đó: $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA $ $ = frac9NG^2 – left( NA^2 + NB^2 + NC^2 ight)2.$Mặt khác: $overrightarrow NA = overrightarrow NG + overrightarrow GA $ $ Rightarrow NA^2 = NG^2 + GA^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GA .$Tương tự:$NB^2 = NG^2 + GB^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GB .$$NC^2 = NG^2 + GC^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GC .$Suy ra: $NA^2 + NB^2 + NC^2$ $ = 3NG^2 + 3GA^2$ $ + 2overrightarrow NG (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ (vì $GA = GB = GC$) $ = 3NG^2 + 3left( frac23 cdot fracasqrt 3 2 ight)^2$ $ = 3NG^2 + a^2.$Từ đó: $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA $ $ = frac9NG^2 – 3NG^2 – a^22$ $ = 3NG^2 – fraca^22.$Mà $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA = frac5a^22.$Nên $3NG^2 – fraca^22 = frac5a^22$ $ Rightarrow NG^2 = a^2$ tuyệt $GN = a.$Vậy tập thích hợp điểm $N$ là mặt đường tròn chổ chính giữa $G$ nửa đường kính là $a.$

Ví dụ 3: cho tứ giác $ABCD.$a) khẳng định điểm $O$ thế nào cho $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC = 2overrightarrow OD .$b) tìm kiếm tập đúng theo điểm $M$ thỏa mãn nhu cầu hệ thức $left| overrightarrow MB + 4overrightarrow MC – 2overrightarrow MD ight| = left| 3overrightarrow MA ight|.$

*

a) Ta có: $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC = 2overrightarrow OD $ $ Leftrightarrow overrightarrow OB + 4(overrightarrow OB + overrightarrow BC )$ $ = 2(overrightarrow OB + overrightarrow BD )$ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2overrightarrow BD – 4overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2(overrightarrow BD – overrightarrow BC ) – 2overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2overrightarrow CD + 2overrightarrow CB $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 4overrightarrow CI $ ($I$ là trung điểm $BO$) $ Leftrightarrow overrightarrow OB = frac43overrightarrow CI .$Vậy $O$ là đỉnh của hình bình hành $IBON$ với: $overrightarrow IN = frac43overrightarrow IC .$b) Ta có: $left| overrightarrow MB + 4overrightarrow MC – 2overrightarrow MD ight| = left| 3overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow left| overrightarrow MO + overrightarrow OB + 4(overrightarrow MO + overrightarrow OC ) – 2(overrightarrow MO + overrightarrow OD ) ight|$ $ = left| 3overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow left| 3overrightarrow MO ight| = left| 3overrightarrow MA ight|$ bởi $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC – 2overrightarrow OD = vec 0.$Do đó: $left| overrightarrow MO ight| = left| overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow MO = MA.$Vậy tập đúng theo $M$ là con đường trung trực của đoạn thẳng $OA.$

Ví dụ 4: mang lại tam giác $ABC$ vuông trên $A.$ Điểm $M$ bất kỳ nằm vào tam giác tất cả hình chiếu xuống $BC$, $CA$, $AB$ theo sản phẩm công nghệ tự là $D$, $E$, $F.$a) kiếm tìm tập hòa hợp điểm $M$ biết rằng $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF $ thuộc phương với $overrightarrow BC .$b) tìm tập hợp các điểm $M$ hiểu được $left| overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight| = left| overrightarrow MA ight|.$

a)

*

Ta có: $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF = overrightarrow MD + overrightarrow MA .$Gọi $I$ là trung điểm của $AD.$Khi kia $overrightarrow MD + overrightarrow MA = 2overrightarrow MI .$Vậy $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF = 2overrightarrow MI .$Để $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF $ thuộc phương với $overrightarrow BC $ thì $overrightarrow MI $ cùng phương $overrightarrow BC .$Suy ra: $overrightarrow MI $ thuộc phương $overrightarrow PQ $ (với $PQ$ là mặt đường trung bình của tam giác $ABC$ tuy nhiên song với cạnh $BC$).Do kia tập vừa lòng $M$ là đoạn $PQ.$b)

*

Gọi $M’$ là điểm trên đường cao $AH$ làm thế nào cho $AM’ = MD$, có nghĩa là $AMDM’$ là hình bình hành.Ta có: $left| overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight|$ $ = left| overrightarrow MD + overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow MA ight|.$Suy ra: $left| overrightarrow MM’ ight| = left| overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow M’D ight|.$Dễ thấy $MD = frac23AH.$Vậy $M$ nằm trê tuyến phố thẳng tuy vậy song cùng với $BC$, phương pháp $BC$ một khoảng chừng bằng $frac23AH$ tuy thế trừ đa số điểm nằm phía ngoài tam giác $ABC.$

Ví dụ 5: mang đến điểm $A$, $B$ cố định và thắt chặt với $AB = a.$a) search tập phù hợp điểm $M$ làm thế nào để cho $overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MB .overrightarrow AB = a^2.$b) tìm tập hợp điểm $N$ thỏa: $NA^2 + 2NB^2 = k$ ($k$ là hằng số thực dương).

a) Ta có: $overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MB .overrightarrow AB = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + (overrightarrow MA + overrightarrow AB ).overrightarrow AB = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MA .overrightarrow AB + overrightarrow AB ^2 = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MA .overrightarrow AB = 0$ $ Leftrightarrow quad overrightarrow MA .(overrightarrow MA + overrightarrow AB ) = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA .overrightarrow MB = 0.$Vậy tập hòa hợp điểm $M$ là con đường tròn đường kính $AB.$b) call $I$ là vấn đề sao mang lại $overrightarrow IA + 2overrightarrow IB = vec 0$, vày $A$, $B$ cố định và thắt chặt nên $I$ núm định.Ta có: $NA^2 + 2NB^2 = k$ $ Leftrightarrow overrightarrow NA ^2 + 2overrightarrow NB ^2 = k$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NI + overrightarrow IA )^2 + 2(overrightarrow NI + overrightarrow IB )^2 = k$ $ Leftrightarrow NI^2 + 2overrightarrow NI .overrightarrow IA + IA^2$ $ + 2NI^2 + 4overrightarrow NI .overrightarrow IB + 2IB^2 = k$ $ Leftrightarrow 3NI^2 + 2overrightarrow NI (overrightarrow IA + 2overrightarrow IB )$ $ + IA^2 + 2IB^2 = k$ $ Leftrightarrow 3NI^2 = k^2 – left( IA^2 + 2IB^2 ight)$ $ Leftrightarrow NI^2 = frac13left( k^2 – 6IB^2 ight)$ $NI^2 = frac13left( k^2 – frac2a^23 ight)$ (vì $IB = frac13AB$).Vậy:+ ví như $k^2 > frac2a^23$ thì tập phù hợp điểm $N$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $R = sqrt frac13left( k^2 – frac2a^23 ight) .$+ trường hợp $k^2 = frac2a^23$ thì tập phù hợp điểm $N$ chính là $I.$+ nếu như $k^2 Ví dụ 6: đến tam giác $ABC$ phần đông cạnh bằng $a.$a) tìm tập hòa hợp điểm $M$ thỏa $(overrightarrow MA + overrightarrow MB )(overrightarrow MA + overrightarrow MC ) = 0.$b) tìm kiếm tập phù hợp điểm $N$ thỏa $NA^2 + NB^2 + NC^2 = 4a^2.$c) search tập vừa lòng điểm $P$ thỏa $3PA^2 = 2PB^2 + PC^2.$

a) hotline $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $AC$, ta tất cả $I$, $J$ cầm định.Ta có: $(overrightarrow MA + overrightarrow MB )(overrightarrow MA + overrightarrow MC ) = 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow MI .2overrightarrow MJ = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow MI .overrightarrow MJ = 0.$Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn đường kính $IJ.$b) gọi $G$ là trung tâm tam giác $ABC.$Ta có: $NA^2 + NB^2 + NC^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NG + overrightarrow GA )^2 + (overrightarrow NG + overrightarrow BG )^2$ $ + (overrightarrow NG + overrightarrow GC )^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow 3NG^2 + overrightarrow NG (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ + GA^2 + GB^2 + GC^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow 3NG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 = 4a^2.$Trong đó: $GA = GB = GC$ $ = frac23fracasqrt 3 2 = fracasqrt 3 3.$Vậy $3NG^2 = 3a^2 Leftrightarrow NG^2 = a^2.$Do kia tập hợp điểm $N$ là đường tròn trung tâm $G$ bán kính bằng $a.$c) Ta có: $3PA^2 = 2PB^2 + PC^2$ $ Leftrightarrow 3(overrightarrow PG + overrightarrow GA )^2$ $ = 2(overrightarrow PG + overrightarrow GB )^2 + (overrightarrow PG + overrightarrow GC )^2$ $ Leftrightarrow 3PG^2 + 6overrightarrow PG .overrightarrow GA + 3GA^2$ $ = 2PG^2 + 4overrightarrow PG .overrightarrow GB + 2GB^2$ $ + PG^2 + 2overrightarrow PG .overrightarrow GC + GC^2$ $ Leftrightarrow 6overrightarrow PG .overrightarrow GA – 4overrightarrow PG .overrightarrow GB – 2overrightarrow PG .overrightarrow GC = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow PG (3overrightarrow GA – 2overrightarrow GB – overrightarrow GC ) = 0.$Mặt khác: $3overrightarrow GA – 2overrightarrow GB – overrightarrow GC $ $ = 3overrightarrow GA – 2(overrightarrow GA + overrightarrow AB ) – (overrightarrow GA + overrightarrow AC )$ $ = – (2overrightarrow AB + overrightarrow AC ).$Gọi $H$ là điểm sao mang đến $2overrightarrow HB + overrightarrow HC = 0.$Khi kia $2overrightarrow AB + overrightarrow AC $ $ = 2(overrightarrow AH + overrightarrow HB ) + (overrightarrow AH + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow AH .$Suy ra đẳng thức đã cho biến hóa $overrightarrow PG .overrightarrow 3AH = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow PG .overrightarrow AH = 0.$Vậy tập vừa lòng điểm $P$ là đường thẳng qua $G$ và vuông góc với $AH.$