Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

     

Cách tìm kiếm Hình chiếu của một điểm khởi hành thẳng, phương diện phẳng cực hay

Với bí quyết tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, phương diện phẳng rất hay Toán lớp 12 có đầy đủ phương thức giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học viên ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tra cứu Hình chiếu của một điểm khởi thủy thẳng, mặt phẳng từ kia đạt điểm trên cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

*

A. Phương pháp giải

Cách xác minh hình chiếu của một điểm A xuất xứ thẳng d

- Viết phương trình phương diện phẳng (P) đựng điểm A và vuông góc cùng với d

- tìm H là giao điểm của d cùng (P) => H là giao điểm của A trên d

Cách khẳng định hình chiếu của một điểm A lên khía cạnh phẳng (P)

- Viết phương trình con đường thẳng trải qua A cùng vuông góc cùng với (P)

- search H là giao điểm của d và (P) => H là giao điểm của A trên (P)

B. Lấy ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) trên phố thẳng d:

*

A.

B.

*

C.

*

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d gồm vecto đưa ra phương

*
.

+ hotline mặt phẳng (P) đựng điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến đề xuất ta bao gồm phương trình của (P) là:

1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 3 = 0

+ tìm kiếm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) vừa lòng :

(t-2) + 2(2t+1) – 2(-2t-1) – 3 = 0 t = 1/9

Vậy H là hình chiếu của A bên trên d và

Chọn A.

Ví dụ: 2

Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P)

A. ( 2; 1; 0)

B. ( - 2;0; 1)

C.(-1; 0; 0)

D. ( 0; 2; 1)

Hướng dẫn giải

+ mặt phẳng (P) gồm vecto pháp tuyến

*
.

Đường thẳng d đi qua M với vuông góc cùng với (P) thừa nhận vectơ pháp con đường của (P) làm vectơ chỉ phương

Phương trình của d là:

*

+ tra cứu H là giao điểm của d cùng (P)

Tọa độ của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:

2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0

⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1 bắt buộc H ( - 1; 0; 0)

Chọn C.

Ví dụ: 3

Cho điểm M (2; -1; 8) và mặt đường thẳng

*
. Kiếm tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M bên trên d.

A. ( 1; 2; 1)

B.( 5; - 3; 4)

C. ( -2; 1;3)

D. ( 1;1;3)

Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của d là:

*

Xét điểm H(1+2t; -t-1; 2t) ở trong d

*

Đường trực tiếp d tất cả vecto chỉ phương

*

H là hình chiếu vuông góc của M bên trên d khi còn chỉ khi

*

⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0

⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0

⇔ 9t – 18= 0 đề nghị t= 2

=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H(5; - 3; 4)

Chọn B.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; đến đường thẳng

*
với điểm M( -1; 3; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

A. ( -1;3; 0)

B. ( -2; 1; 0)

C. ( -1; 2; 1)

D. ( - 2; -1; 1)

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt đường thẳng d ta được:

*

=> Điểm M thuộc con đường thẳng d buộc phải hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d là thiết yếu điểm M .

Chọn A.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; đến mặt phẳng (P): x+ 2y – z+ 5= 0 cùng điểm M( -1; 2; 1). Xác định hình chiếu của M lên phương diện phẳng (P)

A. ( 1; 0; 2)

B. ( -1; 0; 2)

C. (- 2; 0; 2)

D. ( -1; 2; -2)

Hướng dẫn giải

+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến đường

+ điện thoại tư vấn d là mặt đường thẳng đi qua M ( -1; 2; 1) và vuông góc với phương diện phẳng (P) đề xuất đường trực tiếp d dìm vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

*

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên khía cạnh phẳng (P) chính là giao điểm của mặt đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Thay x= - 1+ t; y= 2+ 2t;z= 1- t vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

( -1+ 2t)+ 2(2+ 2t) – ( 1- t) + 5= 0

⇔ - 1+ 2t+ 4 + 4t – 1+ t+ 5= 0

⇔ 7t+ 7= 0 ⇔ t= - 1 buộc phải H( -2; 0; 2)

Chọn C.

Ví dụ: 6

Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz; cho đường trực tiếp

*
và điểm M(1; 1; 1). Xác định điểm M’ đối xứng cùng với M qua d?

A.( 1; 0; - 2)

B. ( -2; 1; 1)

C. ( 1; 2; 3)

D. (- 1; 0; 6)

Hướng dẫn giải

+ Đường trực tiếp d trải qua A(0; 0; 2) và bao gồm vecto chỉ phương

*

+ gọi (P) là khía cạnh phẳng qua M và vuông góc với con đường thẳng d phải mặt phẳng (P) dìm vecto chỉ phương của mặt đường thẳng d làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình khía cạnh phẳng (P):

-1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 giỏi – x + 2y + z – 2= 0

+ điện thoại tư vấn H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi ấy H chính là giao điểm của đường thẳng d cùng mặt phẳng (P)

+ Điểm H thuộc mặt đường thẳng d phải H(- t; 2t; 2+ t) . Cố kỉnh tọa độ H vào phương trình khía cạnh phẳng (P) ta được:

- ( - t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0

=> Hình chiếu của M lên d là H ( 0; 0; 2)

+ do M’ đối xứng cùng với M qua d phải H là trung điểm của MM’.

=> Tọa độ điểm M’( - 1; 0; 6 )

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y - 4= 0 với điểm A( 1; 1; 0). điện thoại tư vấn A’ là vấn đề đối xứng cùng với A qua (P). Tìm kiếm A’.

A. ( 3; -3; 0)

B. ( -2; 1; 3)

C. ( 0;2; -1)

D. (-2; 3; 1)

Hướng dẫn giải

+ phương diện phẳng (P) có vecto pháp đường

*
.

+ gọi d là con đường thẳng đi qua A( 1; 1; 0) cùng vuông góc với khía cạnh phẳng (P). Lúc ấy đường thẳng d có vecto chỉ phương là ( 1; -2; 0)

=> Phương trình con đường thẳng

*

+ điện thoại tư vấn H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P). Lúc đó; H chính là giao điểm của con đường thẳng d cùng mặt phẳng (P):

=> H( 1+ t; 1- 2t; 0) thay vào phương trình khía cạnh phẳng (P) ta có:

1+ t – 2( 1- 2t) - 4= 0 giỏi t= 1

=> H( 2; - 1; 0) .

Xem thêm: Một Lò Xo Đồng Chất Tiết Diện Đều Được Cắt Thành Ba Lò Xo

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 2; -1; 0) .

+ bởi vì A’ là vấn đề đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’.

=> Tọa độ A’(3; -3; 0)

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Tìm hình chiếu vuông góc của A(- 2; 1;0) trên đường thẳng

*

A. ( -2; 0; 1)

B. ( 2; -1;- 5)

C. ( 0;3;-3)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường trực tiếp d tất cả vecto bỏ ra phương

*
.

+ gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d dấn vectơ chỉ phương của d có tác dụng vectơ pháp tuyến cần ta có phương trình của (P) là:

- 2(x + 2) + 1. (y – 1) – 2.(z – 0) = 0 xuất xắc - 2x + y- 2z – 5= 0

+ search H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ H( - 2t; t; -7- 2t) vừa lòng :

- 2(- 2t) + t – 2( -7- 2t) – 5= 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1

Vậy H là hình chiếu của A bên trên d cùng H(2; -1; -5)

Chọn B.

Câu 2:

Cho M( 0; 1; 3) với mặt phẳng (P): x + y - z +2 = 0. Hotline H ( a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a+ b + c?

A. - 2

B. 6

C. - 4

D. 4

Lời giải:

+ mặt phẳng (P) bao gồm vecto pháp tuyến đường

*

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc cùng với (P); dìm vectơ pháp tuyến của (P) làm cho vectơ chỉ phương

Phương trình của d là:

*

+ search H là giao điểm của d với (P)

Tọa độ của H( t; 1+ t; 3- t) thỏa mãn: t+ 1+ t- ( 3- t) + 2= 0

⇔ 3t= 0 phải t= 0

=> Tọa độ H( 0;1;3)

=> a+ b+ c= 0+1+3 = 4

Chọn D.

Câu 3:

Cho điểm M ( - 2; 1; - 2) và đường thẳng

*
Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M bên trên d.

A. ( 1; 2; 1)

B.( 0; 2; 2)

C. ( - 1; 2; 0)

D. (0; 1; 0)

Lời giải:

Xét điểm H(-t; 2- 2t; 2+ t) ở trong d

*

Đường thẳng d tất cả vecto chỉ phương

*

H là hình chiếu vuông góc của M bên trên d khi còn chỉ khi

*

⇔ - 1( - t+ 2)- 2( 1- 2t) + 1( 4+ t) = 0

⇔ t- 2- 2+ 4t + 4+ t = 0

⇔ 6t = 0 yêu cầu t= 0

=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H( 0; 2; 2)

Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

*
cùng điểm M( -2; 1; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

A. (1; 0; -2)

B. ( -2; 1; 0)

C. ( -1; 2; 1)

D. ( - 2; -1; 1)

Lời giải:

Thay tọa độ điểm M vào phương trình con đường thẳng d ta được:

*

=> Điểm M thuộc đường thẳng d buộc phải hình chiếu của điểm M trên tuyến đường thẳng d là thiết yếu điểm M .

Chọn B.

Câu 5:

Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz; mang lại mặt phẳng (P): x+ 2z+ 3= 0 với điểm M(-2; 1; 2). Khẳng định hình chiếu của M lên khía cạnh phẳng (P)

A. ( 1; 0; 2)

B. ( -1; 0; 2)

C. (- 2; 0; 2)

D. ( -3; 1; 0)

Lời giải:

+Mặt phẳng (P) bao gồm vecto pháp tuyến đường

+ điện thoại tư vấn d là mặt đường thẳng đi qua M (- 2; 1; 2) với vuông góc với mặt phẳng (P) đề xuất đường trực tiếp d nhận vecto làm cho vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

*

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên khía cạnh phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P).

Thay x= - 2+ t; y= 1 và z= 2+ 2t vào phương trình khía cạnh phẳng (P) ta được:

- 2+ t + 2( 2+ 2t) + 3= 0

⇔ 5t + 5= 0 ⇔ t= - 1 nên H( - 3; 1; 0)

Chọn D.

Câu 6:

Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz; mang đến đường thẳng

*
với điểm M( 1; 0; 2). Xác minh điểm M’ đối xứng với M qua d?

A.

*

B. ( -2; 1; 1)

C.

D. ( 2; 2; 1)

Lời giải:

+ Đường trực tiếp d gồm vecto chỉ phương

*

+ hotline (P) là phương diện phẳng qua M( 1; 0; 2) với vuông góc với con đường thẳng d nên mặt phẳng (P) dấn vecto chỉ phương của con đường thẳng d làm cho vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt phẳng (P):

1( x- 1) - 1( y-0) + 1( z- 2) = 0 hay x - y + z – 3= 0

+ gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi ấy H đó là giao điểm của con đường thẳng d với mặt phẳng (P)

+ Điểm H thuộc đường thẳng d đề nghị H(t; -t; 2+ t) . Gắng tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

t- ( - t) + 2+ t- 3= 0 ⇔ 3t- 1= 0 ⇔ t= 1/3

=> Hình chiếu của M lên d là

*

+ vày M’ đối xứng với M qua d đề nghị H là trung điểm của MM’.

=> Tọa độ điểm M’

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; mang lại mặt phẳng (P): x - 2y- 3z - 11= 0 cùng điểm A( 2; 1; 1). Hotline A’ là điểm đối xứng cùng với A qua (P). Kiếm tìm A’.

Xem thêm: Cách Làm Cà Pháo Muối Xổi : Ẩm Thực Phùng Tấn, Cách Muối Cà Pháo Xổi

A. ( 4; - 3; - 5)

B. ( -2; 1; 3)

C. ( 0;2; -1)

D. (-2; 3; 1)

Lời giải:

+ phương diện phẳng (P) có vecto pháp tuyến

*
.

+ call d là con đường thẳng đi qua A( 2;1; 1) với vuông góc với phương diện phẳng (P). Khi ấy đường thẳng d có vecto chỉ phương là (1; -2; - 3)

=> Phương trình con đường thẳng d:

*

+ gọi H là hình chiếu của điểm A lên phương diện phẳng ( P). Khi đó; H đó là giao điểm của con đường thẳng d với mặt phẳng (P):