Bài Tập Tìm Giao Tuyến Của 2 Mặt Phẳng Có Đáp Án

     

Bài viết phía dẫn cách thức tìm giao đường của hai mặt phẳng thông qua các lấy một ví dụ minh họa có giải thuật chi tiết.

Bạn đang xem: Bài tập tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng có đáp án

Phương pháp+ Giao tuyến là mặt đường thẳng tầm thường của nhì mặt phẳng, gồm nghĩa giao đường là con đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc phương diện phẳng kia.+ mong mỏi tìm giao tuyến của nhị mặt phẳng, ta tìm nhị điểm tầm thường thuộc cả nhị mặt phẳng, nối hai điểm chung đó được giao tuyến phải tìm.+ Về dạng toán này, điểm chung đầu tiên thường dễ dàng tìm, điểm chung sót lại ta đề nghị tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc nhì mặt phẳng, đồng thời cùng thuộc một phương diện phẳng thứ bố mà chúng không tuy nhiên song cùng với nhau, giao điểm của hai tuyến phố thẳng đó là vấn đề chung sản phẩm công nghệ hai.

Ví dụ minh họaVí dụ 1: cho tứ giác $ABCD$ thế nào cho các cạnh đối không tuy nhiên song với nhau. đem một điểm $S$ không thuộc khía cạnh phẳng $(ABCD)$. Xác định giao tuyến đường của hai mặt phẳng:a) mặt phẳng $(SAC)$ với mặt phẳng $(SBD).$b) khía cạnh phẳng $(SAB)$ cùng mặt phẳng $(SCD).$c) phương diện phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(SBC).$

*

a) Ta có: $S in left( SAC ight) cap left( SBD ight)$ $(1).$Trong phương diện phẳng $(ABCD)$ call $O = AC cap BD.$Vì $left{ eginarraylO in AC,AC subset left( SAC ight)\O in BD,BD subset left( SBD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow O in left( SAC ight) cap left( SBD ight)$ $(2).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( SAC ight) cap left( SBD ight) = SO.$b) Ta có: $S in left( SAB ight) cap left( SCD ight)$ $(3).$Trong khía cạnh phẳng $(ABCD)$ gọi $E = AB cap CD.$Vì: $left{ eginarraylE in AB,AB subset left( SAB ight)\E in CD,CD subset left( SCD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow E in left( SAB ight) cap left( SCD ight)$ $(4).$Từ $(3)$ với $(4)$ suy ra: $left( SAB ight) cap left( SCD ight) = SE.$c) Ta có: $S in left( SAD ight) cap left( SBC ight)$ $(5).$Trong phương diện phẳng $(ABCD)$ gọi $F = AD cap BC.$Vì $left{ eginarraylF in AD,AD subset left( SAD ight)\F in BC,BC subset left( SBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow F in left( SAD ight) cap left( SBC ight)$ $(6).$Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $left( SAD ight) cap left( SBC ight) = SF.$

Ví dụ 2: đến tứ diện $ABCD$. điện thoại tư vấn $I, J$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $AD, BC.$a) tìm giao tuyến đường của hai mặt phẳng $(IBC)$ với mặt phẳng $(JAD).$b) đem điểm $M$ trực thuộc cạnh $AB$, $N$ ở trong cạnh $AC$ làm thế nào cho $M,N$ không là trung điểm. Tra cứu giao con đường của hai mặt phẳng $(IBC)$ cùng mặt phẳng $(DMN).$

*

a) kiếm tìm giao đường của $2$ khía cạnh phẳng $(IBC)$ với $(JAD).$Ta có:$left{ eginarraylI in left( IBC ight)\I in AD,AD subset left( JAD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow I in left( IBC ight) cap left( JAD ight)$ $(1).$$left{ eginarraylJ in left( JAD ight)\J in BC,BC subset left( IBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow J in left( IBC ight) cap left( JAD ight)$ $(2).$Từ $(1)$ với $(2)$ suy ra: $left( IBC ight) cap left( JAD ight) = IJ.$b) search giao đường của $2$ khía cạnh phẳng $(IBC)$ và $(DMN)$.Trong khía cạnh phẳng $(ABD)$ gọi $E = BI cap DM.$Vì $left{ eginarraylE in BI,BI subset left( IBC ight)\E in DM,DM subset left( DMN ight)endarray ight.$ $ Rightarrow E in left( IBC ight) cap left( DMN ight)$ $(3).$Trong mặt phẳng $(ACD)$ gọi $F = CI cap DN.$Vì $left{ eginarraylF in CI,CI subset left( IBC ight)\F in DN,DN subset left( DMN ight)endarray ight.$ $ Rightarrow F in left( IBC ight) cap left( DMN ight)$ $(4).$Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( IBC ight) cap left( DMN ight) = EF.$

Ví dụ 3: đến tứ diện $ABCD$. đem điểm $M$ nằm trong cạnh $AB$, $N$ ở trong cạnh $AC$ làm sao để cho $MN$ giảm $BC$. điện thoại tư vấn $I$ là điểm bên phía trong tam giác $BCD.$ search giao đường của nhì mặt phẳng:a) phương diện phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(BCD).$b) phương diện phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ABD).$c) khía cạnh phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ACD).$

*

a) phương diện phẳng $(MNI)$ với mặt phẳng $(BCD).$Gọi $H = MN cap BC$ $left( MN,BC subset left( ABC ight) ight).$Ta có:$I in left( IMN ight) cap left( BCD ight)$ $(1).$$left{ eginarraylH in MN,MN subset left( IMN ight)\H in BC,BC subset left( BCD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow H in left( IMN ight) cap left( BCD ight)$ $(2).$Từ $(1)$ với $(2)$ suy ra: $left( IMN ight) cap left( BCD ight) = HI.$b) phương diện phẳng $(MNI)$ cùng mặt phẳng $(ABD).$Trong mặt phẳng $(BCD)$, hotline $E$ với $F$ theo lần lượt là giao điểm của $HI$ cùng với $BD$ cùng $CD.$Ta có:$left{ eginarraylM in left( MNI ight)\M in AB subset left( ABD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow E in left( MNI ight) cap left( ABD ight)$ $(3).$$left{ eginarraylE in HI subset left( MNI ight)\E in BD subset left( ABD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow E in left( MNI ight) cap left( ABD ight)$ $(4).$Từ $(3)$ cùng $(4)$ suy ra: $left( MNI ight) cap left( ABD ight) = ME.$c) mặt phẳng $(MNI)$ cùng mặt phẳng $(ACD).$Ta có:$left{ eginarraylN in left( MNI ight)\N in AC subset left( ACD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow N in left( MNI ight) cap left( ACD ight)$ $(5).$$left{ eginarraylF in HI subset left( MNI ight)\F in CD subset left( ACD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow F in left( MNI ight) cap left( ACD ight)$ $(6).$Từ $(5)$ với $(6)$ suy ra: $left( MNI ight) cap left( ACD ight) = NF.$

Ví dụ 4: mang lại hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy $ABCD$ là hình thang có $AB$ tuy vậy song cùng với $CD$. Hotline $I$ là giao điểm của $AD$ cùng $BC$.

Xem thêm: Tất Tần Tật Về Đồ Thị Hàm Số Lũy Thừa Chi Tiết Nhất: Sgk Toán Lớp 12



Xem thêm: Những Câu Chúc Sinh Nhật Tiếng Anh Hay Nhất, Những Lời Chúc Mừng Sinh Nhật Bằng Tiếng Anh Hay

đem $M$ thuộc cạnh $SC$. Kiếm tìm giao đường của nhị mặt phẳng:a) mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD).$b) khía cạnh phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(SBC).$c) khía cạnh phẳng $(ADM)$ và mặt phẳng $(SBC).$

*

a) kiếm tìm giao tuyến đường của $2$ mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD).$Ta có: $S in left( SAC ight) cap left( SBD ight)$ $left( 1 ight).$Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $H = AC cap BD$, ta có:$left{ eginarraylH in AC subset left( SAC ight)\H in BD subset left( SBD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow H in left( SAC ight) cap left( SBD ight)$ $left( 2 ight).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $left( SAC ight) cap left( SBD ight) = SH.$b) kiếm tìm giao tuyến của $2$ khía cạnh phẳng $(SAD)$ cùng $(SBC)$.Ta có: $S in left( SAD ight) cap left( SBC ight)$ $left( 3 ight).$Trong mặt phẳng $left( ABCD ight)$ gọi $I = AD cap BC$, ta có:$left{ eginarraylI in AD subset left( SAD ight)\I in BC subset left( SBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow I in left( SAD ight) cap left( SBC ight)$ $(4).$Trong $(3)$ cùng $(4)$ suy ra: $left( SAD ight) cap left( SBC ight) = SI.$c) kiếm tìm giao đường của $2$ phương diện phẳng $left( ADM ight)$ và $left( SBC ight).$Ta có:$left{ eginarraylM in left( ADM ight)\M in SC,SC subset left( SBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow M in left( ADM ight) cap left( SBC ight)$ $left( 5 ight).$$left{ eginarraylI in AD,AD subset left( ADM ight)\I in BC,BC subset left( SBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow I in left( ADM ight) cap left( SBC ight)$ $(6).$Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $left( ADM ight) cap left( SBC ight) = MI.$

Ví dụ 5: mang lại hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành trọng điểm $O$. Hotline $M, N, P$ thứu tự là trung điểm các cạnh $BC, CD, SA$. Tìm giao tuyến của nhị mặt phẳng:a) khía cạnh phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAB).$b) khía cạnh phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAD).$c) mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SBC).$d) khía cạnh phẳng $(MNP)$ cùng mặt phẳng $(SCD).$

*

Gọi $F = MN cap AB$, $E = MN cap AD$ (vì $MN,AB,AD subset left( ABCD ight)$).a) khía cạnh phẳng $(MNP)$ với mặt phẳng $(SAB).$Ta có:$left{ eginarraylP in left( MNP ight)\P in SA,SA subset left( SAB ight)endarray ight.$ $ Rightarrow p in left( MNP ight) cap left( SAB ight)$ $left( 1 ight).$$left{ eginarraylF in MN,MN subset left( MNP ight)\F in AB,AB subset left( SAB ight)endarray ight.$ $ Rightarrow F in left( MNP ight) cap left( SAB ight)$ $left( 2 ight).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( MNP ight) cap left( SAB ight) = PF.$b) phương diện phẳng $(MNP)$ cùng mặt phẳng $(SAD).$Ta có:$left{ eginarraylP in left( MNP ight)\P in SA,SA subset left( SAD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow p. in left( MNP ight) cap left( SAD ight)$ $left( 3 ight).$$left{ eginarraylE in MN,MN subset left( MNP ight)\E in AD,AD subset left( SAD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow E in left( MNP ight) cap left( SAD ight)$ $left( 4 ight).$Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $left( MNP ight) cap left( SAD ight) = PE.$c) phương diện phẳng $(MNP)$ với mặt phẳng $(SBC).$Trong mặt phẳng $(SAB)$ gọi $K = PF cap SB$, ta có:$left{ eginarraylK in PF,PF subset left( MNP ight)\K in SB,SB subset left( SBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow K in left( MNP ight) cap left( SBC ight)$ $left( 5 ight).$$left{ eginarraylM in left( MNP ight)\M in BC,BC subset left( SBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow M in left( MNP ight) cap left( SBC ight)$ $left( 6 ight).$Từ $(5)$ với $(6)$ suy ra $left( MNP ight) cap left( SBC ight) = MK.$d) khía cạnh phẳng $(MNP)$ cùng mặt phẳng $(SCD).$Gọi $H = PE cap SD$ $left( PE,SD subset left( SAD ight) ight)$, ta có:$left{ eginarraylH in PE,PE subset left( MNP ight)\H in SD,SD subset left( SCD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow H in left( MNP ight) cap left( SCD ight)$ $left( 7 ight).$$left{ eginarraylN in left( MNP ight)\N in CD,CD subset left( SCD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow N in left( MNP ight) cap left( SCD ight)$ $left( 8 ight).$Từ $(7)$ cùng $(8)$ suy ra: $left( MNP ight) cap left( SCD ight) = NH.$

Ví dụ 6: đến tứ diện $S.ABC$. đem $M in SB$, $N in AC$, $I in SC$ làm thế nào cho $MI$ không tuy nhiên song với $BC, NI$ không tuy nhiên song cùng với $SA.$ tìm kiếm giao con đường của khía cạnh phẳng $(MNI)$ với những mặt $(ABC)$ và $(SAB).$

*

a) search giao tuyến đường của $2$ phương diện phẳng $(MNI)$ và $(ABC).$Vì $left{ eginarraylN in left( MNI ight)\N in AC,AC subset left( ABC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow N in left( MNI ight) cap left( ABC ight)$ $(1).$Trong phương diện phẳng $(SBC)$ gọi $K = mày cap BC.$Vì: $left{ eginarraylK in mi subset left( MNI ight)\K in BC,BC subset left( ABC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow K in left( MNI ight) cap left( ABC ight)$ $left( 2 ight).$Từ $(1)$ với $(2)$ suy ra: $left( MNI ight) cap left( ABC ight) = NK.$b) kiếm tìm giao tuyến đường của $2$ mặt phẳng $(MNI)$ và $(SAB).$Gọi $J = NI cap SA$ $left( NI,SA subset left( SAC ight) ight).$Ta có:$left{ eginarraylM in left( MNI ight)\M in SB,SB subset left( SAB ight)endarray ight.$ $ Rightarrow M in left( MNI ight) cap left( SAB ight)$ $left( 3 ight).$$left{ eginarraylJ in NI subset left( MNI ight)\J in SA,SA subset left( SAB ight)endarray ight.$ $ Rightarrow J in left( MNI ight) cap left( SAB ight)$ $left( 4 ight).$Từ $(3)$ với $(4)$ suy ra: $left( MNI ight) cap left( SAB ight) = MJ.$

Ví dụ 7: mang lại tứ diện $ABCD$, $M$ là 1 trong những điểm nằm phía bên trong tam giác $ABD$, $N$ là 1 trong điểm phía bên trong tam giác $ACD$. Search giao con đường của nhì mặt phẳng:a) mặt phẳng $(AMN)$ và mặt phẳng $(BCD).$b) khía cạnh phẳng $(DMN)$ cùng mặt phẳng $(ABC).$

*

a) kiếm tìm giao đường của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BCD).$Trong mặt phẳng $(ABD)$, call $E = AM cap BD$, ta có:$left{ eginarraylE in AM,AM subset left( AMN ight)\E in BD,BD subset left( BCD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow E in left( AMN ight) cap left( BCD ight)$ $(1).$Trong $(ACD)$ điện thoại tư vấn $F = AN cap CD$, ta có:$left{ eginarraylF in AN,AN subset left( AMN ight)\F in CD,CD subset left( BCD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow F in left( AMN ight) cap left( BCD ight)$ $(2).$Từ $(1)$ cùng $(2)$ suy ra: $left( AMN ight) cap left( BCD ight) = EF.$b) tìm kiếm giao đường của nhị mặt phẳng $(DMN)$ và $(ABC).$Trong mặt phẳng $(ABD)$, hotline $P = DM cap AB$, ta có:$left{ eginarraylP in DM,DM subset left( DMN ight)\P in AB,AB subset left( ABC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow p in left( DMN ight) cap left( ABC ight)$ $(3).$Trong $(ACD)$, điện thoại tư vấn $Q = doanh nghiệp cap AC$, ta có:$left{ eginarraylQ in DN,DN subset left( DMN ight)\Q in AC,AC subset left( ABC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow Q in left( DMN ight) cap left( ABC ight)$ $left( 4 ight).$Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( DMN ight) cap left( ABC ight) = PQ.$

Ví dụ 8: cho tứ diện $ABCD$. Lấy $I in AB$, $J$ là điểm trong tam giác $BCD$, $K$ là vấn đề trong tam giác $ACD$. Tra cứu giao con đường của mặt phẳng $(IJK)$ với những mặt của tứ diện.

*

Gọi:$M = DK cap AC$ $left( DK,AC subset left( ACD ight) ight).$$N = DJ cap BC$ $left( DJ,BC subset left( BCD ight) ight).$$H = MN cap KJ$ $left( MN,KJ subset left( DMN ight) ight).$Vì $H in MN$, $MN subset left( ABC ight)$ $ Rightarrow H in left( ABC ight).$Gọi:$P = HI cap BC$ $left( HI,BC subset left( ABC ight) ight).$$Q = PJ cap CD$ $left( PJ,CD subset left( BCD ight) ight).$$T = QK cap AD$ $left( QK,AD subset left( ACD ight) ight).$Theo phương pháp dựng điểm làm việc trên, ta có:$left( IJK ight) cap left( ABC ight) = IP.$$left( IJK ight) cap left( BCD ight) = PQ.$$left( IJK ight) cap left( ACD ight) = QT.$$left( IJK ight) cap left( ABD ight) = TI.$