Khối tròn xoay là gì? Cách tính thể tích khối tròn xoay như thế nào?
Khối tròn xoay là một khối hình được tạo bằng cách quay một mặt phẳng quanh một trục cố định như khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay, khối cầu tròn xoay,... Dưới đây là công thức tính thể tích khối tròn xoay, mời các bạn tham khảo.
Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox
Nếu khối tròn xoay quanh trục Ox thì để tính thể tích khối tròn xoay có thể áp dụng các công thức sau:
Trường hợp 1: Khối tròn xoay tạo bởi:
- Đường thẳng y= f(x)
- Trục hoành y=0
- x=a; x=b
Khi đó, công thức tính thể tích là:
Trường hợp 2: Khối tròn xoay được tạo bởi:
- Đường thẳng y= f(x)
- Đường thẳng y= g(x)
- x=a; x=b
Khi đó công thức tính thể tích khối tròn xoay sẽ là:
Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy
Nếu khối tròn xoay quanh trục Oy thì để tính thể tích khối tròn xoay có thể áp dụng các công thức sau:
Trường hợp 1: Khối tròn xoay được tạo bởi:
- Đường x=g(y)
- Trục tung (x=0)
- y=c; y=d
Khi đó công thức tính thể tích khối tròn xoay sẽ là:
Trường hợp 2: Khối tròn xoay được tạo bởi
- Đường x=f(y)
- Đương x=g(y)
- y=c; y=d
Khi đó thể tích khối tròn xoay sẽ là:
Bảng tóm tắt công thức tính thể tích khối tròn xoay:
1. Vx sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox:
2. Vx sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox:
Ví dụ về tính thể tích khối tròn xoay
Ví dụ 1:
Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=π (hình vẽ) quanh trục Ox.
Lời giải
Áp dụng công thức ở định lý trên ta có
Ví dụ 2:
Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong
Giải:
Ta thấy:
Do
Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.
Ví dụ 3:
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0≤x≤1) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và ln(x2+1).
Giải:
Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là:
Ta có thể tích cần tính là
Ví dụ 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành.
Giải:
Tọa độ giao điểm của đường x = 1 với y = x và y = 3x là các điểm C(1;1) và B(3;1). Tọa độ giao điểm của đường y = 3x với y = x là O(0;0).
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
Ví dụ 5: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x2; y2 = 4x quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành.
Giải:
Với
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
Với những bài toán yêu cầu tính thể tích khối tròn xoay, bạn chỉ cần sử dụng đúng công thức cho từng trường hợp và lưu ý khi xác định cận là có thể giải được. Chúc các bạn thành công.